---

Step * 3 5 of Lemma member_bs_tree_insert


1. [E] : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp value x
7. right : bs_tree(E)
8. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
10. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
11. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
12. y : E
13. cmp value x < 0
14. y ∈ right
15. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;right) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ right ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
16. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;left) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ left ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
⊢ (y = x ∈ E) ∨ (((value = y ∈ E) ∨ y ∈ left ∨ y ∈ right) ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ)))
BY
{ ((InstLemma `strict-comparison-trans` [⌜E⌝;⌜cmp⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜x⌝  THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜value⌝;⌜y⌝] (-1)⋅ THEN Auto)
   THEN RWO "comparison-anti" (-1)
   THEN Auto) }

1
1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp value x
7. right : bs_tree(E)
8. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
10. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
11. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
12. y : E
13. cmp value x < 0
14. y ∈ right
15. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;right) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ right ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
16. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;left) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ left ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
17. ∀b,c:E.  (0 < -(cmp b x) ⇒ 0 < -(cmp c b) ⇒ 0 < -(cmp c x))
⊢ 0 < cmp x value

---

Latex:

---

Latex:

1.  [E]  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  \mneg{}0  <  cmp  value  x
7.  right  :  bs\_tree(E)
8.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
9.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
10.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  value)
11.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  right  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  value  x)
12.  y  :  E
13.  cmp  value  x  <  0
14.  y  \mmember{}  right
15.  \mforall{}y:E.  (y  \mmember{}  bs\_tree\_insert(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (y  =  x)  \mvee{}  (y  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0))))
16.  \mforall{}y:E.  (y  \mmember{}  bs\_tree\_insert(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (y  =  x)  \mvee{}  (y  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0))))
\mvdash{}  (y  =  x)  \mvee{}  (((value  =  y)  \mvee{}  y  \mmember{}  left  \mvee{}  y  \mmember{}  right)  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `strict-comparison-trans`  [\mkleeneopen{}E\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cmp\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}value\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  RWO  "comparison-anti"  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index