---

Step * 3 7 of Lemma member_bs_tree_insert


1. [E] : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬cmp value x < 0
7. ¬0 < cmp value x
8. right : bs_tree(E)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
10. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
11. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
12. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
13. y : E
14. y ∈ left
15. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;right) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ right ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
16. ∀y:E. (y ∈ bs_tree_insert(cmp;x;left) ⇐⇒ (y = x ∈ E) ∨ (y ∈ left ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ))))
⊢ (y = x ∈ E) ∨ (((value = y ∈ E) ∨ y ∈ left ∨ y ∈ right) ∧ (¬((cmp x y) = 0 ∈ ℤ)))
BY
{ ((Assert (cmp value x) = 0 ∈ ℤ BY
          Auto)
   THEN (Assert (cmp value y) = (cmp x y) ∈ ℤ BY
               (D 2 THEN Auto))
   THEN (Assert 0 < cmp y value BY
               Auto)
   THEN RWO "comparison-anti" (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [E]  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  \mneg{}cmp  value  x  <  0
7.  \mneg{}0  <  cmp  value  x
8.  right  :  bs\_tree(E)
9.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
10.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
11.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  value)
12.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  right  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  value  x)
13.  y  :  E
14.  y  \mmember{}  left
15.  \mforall{}y:E.  (y  \mmember{}  bs\_tree\_insert(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (y  =  x)  \mvee{}  (y  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0))))
16.  \mforall{}y:E.  (y  \mmember{}  bs\_tree\_insert(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (y  =  x)  \mvee{}  (y  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0))))
\mvdash{}  (y  =  x)  \mvee{}  (((value  =  y)  \mvee{}  y  \mmember{}  left  \mvee{}  y  \mmember{}  right)  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  x  y)  =  0)))


By

---

Latex:
((Assert  (cmp  value  x)  =  0  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  (cmp  value  y)  =  (cmp  x  y)  BY
                          (D  2  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  0  <  cmp  y  value  BY
                          Auto)
  THEN  RWO  "comparison-anti"  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index