---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_bnum_p2a


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. i : Id@i
20. l : Id@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e)@i
⊢ ∃n:ℤ. (↑(pv11_p1_eq_bnums() b (pv11_p1_mk_bnum() n l)))
BY
{ (RepUR ``pv11_p1_p2a'send mk-msg-interface make-msg-interface`` (-1)
   THEN (RWO "make-Msg-as-mk-msg" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "pv11_p1-p2a" (-1) THEN Auto)
   THEN D (-1)
   THEN (Unhide THENA Auto)) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. i : Id@i
20. l : Id@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. loc(e) ↓∈ ldrs
24. i ↓∈ accpts
25. 0 = 0 ∈ ℤ
26. ff = pv11_p1_init_active()
27. l = loc(e) ∈ Id
28. [%] : (((header(e) = [propose] ∈ Name) ∧ has-es-info-type(es;e;f;ℤ × Cmd))
∧ ((↑(fst(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))
  ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) (fst(msgval(e))) (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))))
∧ (b = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
∧ (<s, c> = msgval(e) ∈ (ℤ × Cmd)))
∨ (((header(e) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
   ∧ has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)))
  ∧ ((fst(msgval(e))) = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
  ∧ ((<s, c> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
    ∧ (¬(∃p2:Cmd. (<s, p2> ∈ pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) (snd(msgval(e)))))))
    ∨ (∃v2:pv11_p1_Ballot_Num()
        (<v2, s, c> ↓∈ snd(msgval(e))
        ∧ (¬(∃z5:pv11_p1_Ballot_Num(). ∃z8:Cmd. ((↑(v2  < z5)) ∧ (<z5, s, z8> ∈ snd(msgval(e)))))))))
  ∧ (b = (fst(msgval(e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()))
⊢ SqStable(∃n:ℤ. (↑(pv11_p1_eq_bnums() b (pv11_p1_mk_bnum() n l))))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. i : Id@i
20. l : Id@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. loc(e) ↓∈ ldrs
24. i ↓∈ accpts
25. 0 = 0 ∈ ℤ
26. ff = pv11_p1_init_active()
27. l = loc(e) ∈ Id
28. (((header(e) = [propose] ∈ Name) ∧ has-es-info-type(es;e;f;ℤ × Cmd))
∧ ((↑(fst(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))
  ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) (fst(msgval(e))) (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))))
∧ (b = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
∧ (<s, c> = msgval(e) ∈ (ℤ × Cmd)))
∨ (((header(e) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
   ∧ has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)))
  ∧ ((fst(msgval(e))) = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
  ∧ ((<s, c> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
    ∧ (¬(∃p2:Cmd. (<s, p2> ∈ pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) (snd(msgval(e)))))))
    ∨ (∃v2:pv11_p1_Ballot_Num()
        (<v2, s, c> ↓∈ snd(msgval(e))
        ∧ (¬(∃z5:pv11_p1_Ballot_Num(). ∃z8:Cmd. ((↑(v2  < z5)) ∧ (<z5, s, z8> ∈ snd(msgval(e)))))))))
  ∧ (b = (fst(msgval(e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()))
⊢ ∃n:ℤ. (↑(pv11_p1_eq_bnums() b (pv11_p1_mk_bnum() n l)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  accpts  :  bag(Id)@i
16.  ldrs  :  bag(Id)@i
17.  reps  :  bag(Id)@i
18.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
19.  i  :  Id@i
20.  l  :  Id@i
21.  s  :  \mBbbZ{}@i
22.  c  :  Cmd@i
23.  pv11\_p1\_p2a'send(Cmd;f)  i  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs$_{uid\mbackslash{}ff7\000Cd$;reps;f)(e)@i
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbZ{}.  (\muparrow{}(pv11\_p1\_eq\_bnums()  b  (pv11\_p1\_mk\_bnum()  n  l)))


By

---

Latex:
(RepUR  ``pv11\_p1\_p2a'send  mk-msg-interface  make-msg-interface``  (-1)
  THEN  (RWO  "make-Msg-as-mk-msg"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "pv11\_p1-p2a"  (-1)  THEN  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  (Unhide  THENA  Auto))

---

Home Index