---

Step * 1 1 1 2 3 1 of Lemma Memory-class-progress


1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. P : A ─→ B ─→ ℙ@i'
6. f : A ─→ B ─→ B@i
7. init : Id ─→ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. v1 : B@i
13. v2 : B@i
14. ∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s])@i
15. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
16. ∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2])@i
17. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e2)
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B))))@i
18. single-valued-classrel(es;X;A)@i
19. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
20. ↑first(e1)
21. v1 ↓∈ init loc(e1)
22. ¬↑first(e2)
23. iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
24. (e1 <loc e2)@i
25. ∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. (e1 ≤loc e  ∧ (e <loc e2) ∧ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s])@i
26. v : A
27. v ∈ X(e1)
28. iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;e1;f v v1)
29. loc(pred(e2)) = loc(e2) ∈ Id
30. (pred(e2) < e2)
31. ∀e':E. (e' < e2) ⇒ ((e' = pred(e2) ∈ E) ∨ (e' < pred(e2))) supposing loc(e') = loc(e2) ∈ Id
32. (e1 < pred(e2))
33. (∃e:E
      ∃s:B
       ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[f v v1;v2]
34. (∀e:E. ∀s:B.
       ((e1 <loc e)
       ⇒ e ≤loc pred(e2) 
       ⇒ iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s)
       ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ ((f v v1) = v2 ∈ B)
35. P[v;v1] ⇒ R[v1;f v v1]
36. (¬P[v;v1]) ⇒ (v1 = (f v v1) ∈ B)
37. ∃e:E
     ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:A. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))
⊢ R[v1;v2]
BY
{ ((D (-5) THENA Auto) THEN (InstHyp [⌈v⌉;⌈v1⌉] (-24)⋅ THENA Auto) THEN D (-1) THEN Auto THEN D (-4) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  [B]  :  Type
3.  [A]  :  Type
4.  R  :  B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
5.  P  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
6.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B@i
7.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)@i
8.  X  :  EClass(A)@i'
9.  es  :  EO+(Info)@i'
10.  e1  :  E@i
11.  e2  :  E@i
12.  v1  :  B@i
13.  v2  :  B@i
14.  \mforall{}a:A.  \mforall{}s:B.    Dec(P[a;s])@i
15.  Trans(B;x,y.R[x;y])@i
16.  \mforall{}s1,s2:B.    SqStable(R[s1;s2])@i
17.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:B.
            (e1  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)
            {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s)))))@i
18.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
19.  single-valued-bag(init  loc(e1);B)@i
20.  \muparrow{}first(e1)
21.  v1  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e1)
22.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
23.  iterated\_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
24.  (e1  <loc  e2)@i
25.  \mexists{}e:E
          \mexists{}a:A.  \mexists{}s:B.  (e1  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  (e  <loc  e2)  \mwedge{}  s  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)  \mwedge{}  a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s])@i
26.  v  :  A
27.  v  \mmember{}  X(e1)
28.  iterated\_classrel(es;B;A;f;init;X;e1;f  v  v1)
29.  loc(pred(e2))  =  loc(e2)
30.  (pred(e2)  <  e2)
31.  \mforall{}e':E.  (e'  <  e2)  {}\mRightarrow{}  ((e'  =  pred(e2))  \mvee{}  (e'  <  pred(e2)))  supposing  loc(e')  =  loc(e2)
32.  (e1  <  pred(e2))
33.  (\mexists{}e:E
            \mexists{}s:B
              ((e1  <loc  e)
              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  pred(e2) 
              \mwedge{}  iterated\_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s)
              \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
{}\mRightarrow{}  R[f  v  v1;v2]
34.  (\mforall{}e:E.  \mforall{}s:B.
              ((e1  <loc  e)
              {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  pred(e2) 
              {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
{}\mRightarrow{}  ((f  v  v1)  =  v2)
35.  P[v;v1]  {}\mRightarrow{}  R[v1;f  v  v1]
36.  (\mneg{}P[v;v1])  {}\mRightarrow{}  (v1  =  (f  v  v1))
37.  \mexists{}e:E
          \mexists{}s:B
            ((e1  <loc  e)
            \mwedge{}  e  \mleq{}loc  pred(e2) 
            \mwedge{}  iterated\_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e);s)
            \mwedge{}  (\mexists{}v:A.  (v  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[v;s])))
\mvdash{}  R[v1;v2]


By

---

Latex:
((D  (-5)  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}]  (-24)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  Auto
  THEN  D  (-4)
  THEN  Auto)

---

Home Index