---

Step * 1 1 of Lemma loop-class-state-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
⊢ (fst(hdf-state(pr 
                 loc(e)*(map(λx.info(x);
                             before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))(info(pred(e)))))
= hdf-state(fst(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))))(info(pred(e))));if 0 <z #(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
  then loop-class-state(X;init)(pred(e))
  else Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))
  fi )
∈ hdataflow(Info;B)
BY
{ (GenConclAtAddr [3;2;3]
   THEN GenConclAtAddr [2;1;1;1]⋅
   THEN RW (AddrC [2] (UnfoldC `hdf-state`)) 0
   THEN RecUnfold `mk-hdf` 0
   THEN RepUR ``hdf-ap hdf-run`` 0
   THEN (Subst' loc(e) ~ loc(pred(e)) -1 THENA MaAuto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (HDataflowHD (-1) THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
⊢ (pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B))
⇒ ((fst(let s1,b = let X',fs = x info(pred(e)) 
                    in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;v)
                       in let s' ←─ if bag-null(b) then v else b fi 
                          in <<X', s'>, s'> 
         in <mk-hdf(Xbs,a.let X,s = Xbs 
                          in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                             in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                in let s' ←─ if bag-null(b) then s else b fi 
                                   in <<X', s'>, s'>;s.ff;s1)
            , b
            >))
   = hdf-state(fst((x info(pred(e))));if 0 <z #(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
     then loop-class-state(X;init)(pred(e))
     else v
     fi )
   ∈ hdataflow(Info;B))

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. y : Unit@i
⊢ (pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inr y ) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B))
⇒ ((fst(let s1,b = let s' ←─ v
                    in <<inr ⋅ , s'>, s'> 
         in <mk-hdf(Xbs,a.let X,s = Xbs 
                          in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                             in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                in let s' ←─ if bag-null(b) then s else b fi 
                                   in <<X', s'>, s'>;s.ff;s1)
            , b
            >))
   = hdf-state(inr ⋅ ;if 0 <z #(loop-class-state(X;init)(pred(e))) then loop-class-state(X;init)(pred(e)) else v fi )
   ∈ hdataflow(Info;B))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-state(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-state(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                          before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  hdf-state(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-state(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                      before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
\mvdash{}  (fst(hdf-state(pr 
                                  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                          before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;
                                                                                                                                            init))?init(pred(e)))(...)))
=  hdf-state(fst(pr 
                                loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                        before(pred(e))))(info(pred(e))));if  0  <z  \#(loop-class-state(X;
                                                                                                                                                                                  init)(...))
    then  loop-class-state(X;init)(pred(e))
    else  Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))
    fi  )


By

---

Latex:
(GenConclAtAddr  [3;2;3]
  THEN  GenConclAtAddr  [2;1;1;1]\mcdot{}
  THEN  RW  (AddrC  [2]  (UnfoldC  `hdf-state`))  0
  THEN  RecUnfold  `mk-hdf`  0
  THEN  RepUR  ``hdf-ap  hdf-run``  0
  THEN  (Subst'  loc(e)  \msim{}  loc(pred(e))  -1  THENA  MaAuto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (HDataflowHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index