---

Step * 1 1 2 of Lemma loop-class-state-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. y : Unit@i
⊢ (pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inr y ) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B))
⇒ ((fst(let s1,b = let s' ←─ v
                    in <<inr ⋅ , s'>, s'> 
         in <mk-hdf(Xbs,a.let X,s = Xbs 
                          in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                             in let b ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;s)
                                in let s' ←─ if bag-null(b) then s else b fi 
                                   in <<X', s'>, s'>;s.ff;s1)
            , b
            >))
   = hdf-state(inr ⋅ ;if 0 <z #(loop-class-state(X;init)(pred(e))) then loop-class-state(X;init)(pred(e)) else v fi )
   ∈ hdataflow(Info;B))
BY
{ (D (-1)
   THEN Fold `it` 0
   THEN Fold `hdf-ap` 0
   THEN Reduce 0
   THEN (CallByValueReduceOn ⌈v⌉ 0⋅ THENA MaAuto)
   THEN Reduce 0
   THEN Fold `hdf-halt` 0
   THEN Fold `hdf-state` 0
   THEN AutoSplit
   THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. y : 0 = 0 ∈ ℤ
16. 0 < #(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
17. pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = hdf-halt() ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
⊢ hdf-state(hdf-halt();v) = hdf-state(hdf-halt();loop-class-state(X;init)(pred(e))) ∈ hdataflow(Info;B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-state(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-state(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                          before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  hdf-state(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-state(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                      before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
13.  v  :  bag(B)@i
14.  Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))  =  v@i
15.  y  :  Unit@i
\mvdash{}  (pr  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inr  y  ))
{}\mRightarrow{}  ((fst(let  s1,b  =  let  s'  \mleftarrow{}{}  v
                                        in  <<inr  \mcdot{}  ,  s'>,  s'> 
                  in  <mk-hdf(Xbs,a.let  X,s  =  Xbs 
                                                    in  let  X',fs  =  case  X  of  inl(P)  =>  P  a  |  inr(z)  =>  <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                                          in  let  b  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.bag-map(f;s)
                                                                in  let  s'  \mleftarrow{}{}  if  bag-null(b)  then  s  else  b  fi 
                                                                      in  <<X',  s'>,  s'>s.ff;s1)
                        ,  b
                        >))
      =  hdf-state(inr  \mcdot{}  ;if  0  <z  \#(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
          then  loop-class-state(X;init)(pred(e))
          else  v
          fi  ))


By

---

Latex:
(D  (-1)
  THEN  Fold  `it`  0
  THEN  Fold  `hdf-ap`  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  MaAuto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Fold  `hdf-halt`  0
  THEN  Fold  `hdf-state`  0
  THEN  AutoSplit
  THEN  Auto)

---

Home Index