---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma loop-class-state-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
16. z1 : hdataflow(Info;B ─→ B)@i
17. z2 : bag(B ─→ B)@i
18. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
19. pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
20. ¬(∪f∈z2.bag-map(f;v) = {} ∈ bag(B))
21. 0 < #(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
⊢ ∪f∈z2.bag-map(f;v) = loop-class-state(X;init)(pred(e)) ∈ bag(B)
BY
{ (RecUnfold `loop-class-state` 0
   THEN RepUR ``eclass-cond class-ap eclass3 member-eclass`` 0
   THEN Fold `class-ap` 0
   THEN (RWO "7" 0 THENA Auto)
   THEN (HypSubst' (-3) 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``hdf-ap`` 0
   THEN (HypSubst' (-4) 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (HypSubst' (-8) 0 THENA Auto)
   THEN AutoSplit
   THEN InstLemma `bag-size-zero` [⌈B ─→ B⌉;⌈z2⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN (HypSubst' (-1) (-4) THENA Auto)
   THEN Reduce (-4)
   THEN D (-4)
   THEN Auto)⋅ }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-state(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-state(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                          before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  hdf-state(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-state(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                      before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
13.  v  :  bag(B)@i
14.  Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))  =  v@i
15.  x  :  Info  {}\mrightarrow{}  (hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)  \mtimes{}  bag(B  {}\mrightarrow{}  B))@i
16.  z1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)@i
17.  z2  :  bag(B  {}\mrightarrow{}  B)@i
18.  (x  info(pred(e)))  =  <z1,  z2>@i
19.  pr  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inl  x)@i
20.  \mneg{}(\mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v)  =  \{\})
21.  0  <  \#(loop-class-state(X;init)(pred(e)))
\mvdash{}  \mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v)  =  loop-class-state(X;init)(pred(e))


By

---

Latex:
(RecUnfold  `loop-class-state`  0
  THEN  RepUR  ``eclass-cond  class-ap  eclass3  member-eclass``  0
  THEN  Fold  `class-ap`  0
  THEN  (RWO  "7"  0  THENA  Auto)
  THEN  (HypSubst'  (-3)  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``hdf-ap``  0
  THEN  (HypSubst'  (-4)  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (HypSubst'  (-8)  0  THENA  Auto)
  THEN  AutoSplit
  THEN  InstLemma  `bag-size-zero`  [\mkleeneopen{}B  {}\mrightarrow{}  B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  (HypSubst'  (-1)  (-4)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  (-4)
  THEN  D  (-4)
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index