---

Step * 1 1 1 1 3 1 of Lemma loop-class-state-program_wf

.....truecase..... 
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-state(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-state(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. hdf-state(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-state(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
13. v : bag(B)@i
14. Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
15. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
16. z1 : hdataflow(Info;B ─→ B)@i
17. z2 : bag(B ─→ B)@i
18. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
19. pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
20. ¬(∪f∈z2.bag-map(f;v) = {} ∈ bag(B))
21. #(∪f∈X(pred(e)).bag-map(f;Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))) ≤ 0
22. ↑pred(e) ∈b X
⊢ ∪f∈z2.bag-map(f;v) = v ∈ bag(B)
BY
{ ((HypSubst' (-9) (-2) THENA Auto)
   THEN (FLemma `bag-size-zero` [-2] THENA Auto)
   THEN (Assert ⌈∪f∈X(pred(e)).bag-map(f;v) = {} ∈ bag(B)⌉⋅ THENA (RWO "-1" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "7" (-1) THENA Auto)
   THEN (HypSubst' (-6) (-1) THENA Auto)
   THEN RepUR ``hdf-ap`` (-1)
   THEN (HypSubst' (-7) (-1) THENA Auto)
   THEN Reduce (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....truecase..... 
1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-state(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-state(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                          before(e1)));Prior(loop-class-state(X;init))?init(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  hdf-state(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-state(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                      before(pred(e))));Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e)))
13.  v  :  bag(B)@i
14.  Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))  =  v@i
15.  x  :  Info  {}\mrightarrow{}  (hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)  \mtimes{}  bag(B  {}\mrightarrow{}  B))@i
16.  z1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)@i
17.  z2  :  bag(B  {}\mrightarrow{}  B)@i
18.  (x  info(pred(e)))  =  <z1,  z2>@i
19.  pr  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inl  x)@i
20.  \mneg{}(\mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v)  =  \{\})
21.  \#(\mcup{}f\mmember{}X(pred(e)).bag-map(f;Prior(loop-class-state(X;init))?init(pred(e))))  \mleq{}  0
22.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
\mvdash{}  \mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v)  =  v


By

---

Latex:
((HypSubst'  (-9)  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `bag-size-zero`  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\mcup{}f\mmember{}X(pred(e)).bag-map(f;v)  =  \{\}\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (RWO  "-1"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "7"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (HypSubst'  (-6)  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``hdf-ap``  (-1)
  THEN  (HypSubst'  (-7)  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index