---

Step * 2 1 1 of Lemma groupoid-edges-commute


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(cubical-nerve(fst(G));I) List
7. adjacent-compatible(cubical-nerve(fst(G));I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
16. f : name-morph(I;[])
17. a : nameset(I)
18. (f a) = 0 ∈ ℕ2
19. b : nameset(I)
20. (f b) = 0 ∈ ℕ2
21. ¬(a = b ∈ nameset(I))
22. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
23. j : nameset(I)
24. (j ∈ J)
25. ¬((j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
⊢ False
BY
{ TACTIC:OnMaybeHyp 10 (\h. ((InstHyp [⌜j⌝;⌜f j⌝] h⋅ THENA Auto)
                             THEN D -5
                             THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
                             THEN MoveToConcl (-1)
                             THEN (GenConclTerm ⌜box[i1]⌝⋅ THENA Auto)
                             THEN RepeatFor 2 (D -2)
                             THEN RepUR ``face-name face-direction face-dimension`` 0
                             THEN (D 0 THENA Auto)
                             THEN (EqHD (-1) THENA Auto)
                             THEN All Reduce
                             THEN HypSubst' (-2) 0⋅
                             THEN Auto)) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  I-face(cubical-nerve(fst(G));I)  List
7.  adjacent-compatible(cubical-nerve(fst(G));I;box)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
16.  f  :  name-morph(I;[])
17.  a  :  nameset(I)
18.  (f  a)  =  0
19.  b  :  nameset(I)
20.  (f  b)  =  0
21.  \mneg{}(a  =  b)
22.  \mneg{}(\mexists{}v\mmember{}box.  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))
23.  j  :  nameset(I)
24.  (j  \mmember{}  J)
25.  \mneg{}((j  =  a)  \mvee{}  (j  =  b))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
TACTIC:OnMaybeHyp  10  (\mbackslash{}h.  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f  j\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                      THEN  D  -5
                                                      THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
                                                      THEN  MoveToConcl  (-1)
                                                      THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}box[i1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                      THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
                                                      THEN  RepUR  ``face-name  face-direction  face-dimension``  0
                                                      THEN  (D  0  THENA  Auto)
                                                      THEN  (EqHD  (-1)  THENA  Auto)
                                                      THEN  All  Reduce
                                                      THEN  HypSubst'  (-2)  0\mcdot{}
                                                      THEN  Auto))

---

Home Index