---

Step * 2 2 1 of Lemma groupoid-edges-commute


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
16. (a ∈ J) ∧ (b ∈ J) ∧ (¬(x = a ∈ Cname)) ∧ (¬(x = b ∈ Cname))
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))
BY
{ (Assert ¬((f x) = i ∈ ℕ2) BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN DVar `box'
          THEN Auto
          THEN D -7
          THEN OnMaybeHyp 11 (\h. (RepeatFor 2 (ParallelOp h)
                                   THEN RenameVar `z' h
                                   THEN MoveToConcl (h+1)
                                   THEN (GenConclTerm ⌜box[z]⌝⋅ THENA Auto)
                                   THEN RepeatFor 2 (D -2)
                                   THEN RepUR ``face-name face-direction face-dimension`` 0
                                   THEN (D 0 THENA Auto)
                                   THEN (EqHD (-1) THENA Auto)
                                   THEN All Reduce
                                   THEN HypSubst' (-2) 0⋅
                                   THEN Auto)))) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
16. (a ∈ J) ∧ (b ∈ J) ∧ (¬(x = a ∈ Cname)) ∧ (¬(x = b ∈ Cname))
17. ¬((f x) = i ∈ ℕ2)
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
8.  f  :  name-morph(I;[])
9.  a  :  nameset(I)
10.  (f  a)  =  0
11.  b  :  nameset(I)
12.  (f  b)  =  0
13.  \mneg{}(a  =  b)
14.  \mneg{}(\mexists{}v\mmember{}box.  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))
15.  (\mforall{}j\mmember{}J.(j  =  a)  \mvee{}  (j  =  b))
16.  (a  \mmember{}  J)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  J)  \mwedge{}  (\mneg{}(x  =  a))  \mwedge{}  (\mneg{}(x  =  b))
\mvdash{}  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
=  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;b) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a))


By

---

Latex:
(Assert  \mneg{}((f  x)  =  i)  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  DVar  `box'
                THEN  Auto
                THEN  D  -7
                THEN  OnMaybeHyp  11  (\mbackslash{}h.  (RepeatFor  2  (ParallelOp  h)
                                                                  THEN  RenameVar  `z'  h
                                                                  THEN  MoveToConcl  (h+1)
                                                                  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}box[z]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                                  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
                                                                  THEN  RepUR  ``face-name  face-direction  face-dimension``  0
                                                                  THEN  (D  0  THENA  Auto)
                                                                  THEN  (EqHD  (-1)  THENA  Auto)
                                                                  THEN  All  Reduce
                                                                  THEN  HypSubst'  (-2)  0\mcdot{}
                                                                  THEN  Auto))))

---

Home Index