---

Step * of Lemma trans-apply-sep

∀rv:InnerProductSpace. ∀T:ℝ ⟶ Point ⟶ Point.
  ((∃e:Point. translation-group-fun(rv;e;T)) ⇒ (∀x:Point. ∀t1,t2:ℝ.  (t1 ≠ t2 ⇒ T_t2(x) # T_t1(x))))
BY
{ (Auto
   THEN ExRepD
   THEN DupHyp 4
   THEN D -1
   THEN ExRepD
   THEN (InstHyp [⌜T_t1(x)⌝;⌜r0⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (Assert T_t1(x) + r0*e ≡ T_t1(x) BY
               (RealVecEqual THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" (-3) THENA Auto)
   THEN Thin (-1)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x : Point
6. t1 : ℝ
7. t2 : ℝ
8. t1 ≠ t2
9. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
10. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
11. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y x # x + r*e)))
12. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
13. t : ℝ
14. T t T_t1(x) ≡ T_t1(x)
15. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y T_t1(x) # T_t1(x))
⊢ T_t2(x) # T_t1(x)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}T:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point.
    ((\mexists{}e:Point.  translation-group-fun(rv;e;T))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:Point.  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (t1  \mneq{}  t2  {}\mRightarrow{}  T\_t2(x)  \#  T\_t1(x))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  DupHyp  4
  THEN  D  -1
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}T\_t1(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  T\_t1(x)  +  r0*e  \mequiv{}  T\_t1(x)  BY
                          (RealVecEqual  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index