---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma trans-kernel-equation

.....rw func antecedent..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
5. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
6. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
7. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
8. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
9. t : ℝ
10. h : Point
11. h ⋅ e = r0
12. t ≤ r0
13. ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_-(t) + t(h) ≡ T_t(h) + r*e
14. -any : {t:ℝ| r0 ≤ t} 
15. T_-(t) + t(h) ≡ T_t(h) + -any*e
⊢ ∃e:Point. translation-group-fun(rv;e;T)
BY
{ ((D 0 With ⌜e⌝  THEN Auto) THEN D 0 THEN Fold `trans-apply` 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....rw  func  antecedent..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  e\^{}2  =  r1
4.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
5.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T\_s(x)  \#  T\_t(y)  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
6.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T\_t  +  s(x)  \mequiv{}  T\_t(T\_s(x))
7.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T\_y(x)  \#  x  +  r*e)))
8.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e
9.  t  :  \mBbbR{}
10.  h  :  Point
11.  h  \mcdot{}  e  =  r0
12.  t  \mleq{}  r0
13.  \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T\_-(t)  +  t(h)  \mequiv{}  T\_t(h)  +  r*e
14.  -any  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\} 
15.  T\_-(t)  +  t(h)  \mequiv{}  T\_t(h)  +  -any*e
\mvdash{}  \mexists{}e:Point.  translation-group-fun(rv;e;T)


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}    THEN  Auto)  THEN  D  0  THEN  Fold  `trans-apply`  0  THEN  Auto)

---

Home Index