---

Step * 4 4 1 2 2 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))
11. λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B))
12. h : Point(Path(B))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outr(f x)@r(2) * t
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outr(g x)@(r(2) * t) - r1
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
16. h@t ≡ λx.outr(g x)@(r(2) * t) - r1
⊢ λx.(inr (h x) )@t ≡ g@(r(2) * t) - r1
BY
{ ((RepUR ``path-at`` 0 THEN Fold `path-at` 0)
   THEN RepUR ``path-at`` -1
   THEN Fold `path-at` (-1)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜((r(2) * t) - r1) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} ⌝⋅
         THENA (Auto THEN DVar `t' THEN All Reduce THEN MemTypeCD THEN Auto THEN nRMul ⌜r(2)⌝ (-2)⋅ THEN Auto)
         )) }

1
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))
11. λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B))
12. h : Point(Path(B))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outr(f x)@r(2) * t
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outr(g x)@(r(2) * t) - r1
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
16. z : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
17. ((r(2) * t) - r1) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
⊢ h@t ≡ outr(g@z) ⇒ inr h@t  ≡ g@z

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(g@x))
11.  \mlambda{}x.outr(g  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
12.  h  :  Point(Path(B))
13.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outr(f  x)@r(2)  *  t
14.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outr(g  x)@(r(2)  *  t)  -  r1
15.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\} 
16.  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outr(g  x)@(r(2)  *  t)  -  r1
\mvdash{}  \mlambda{}x.(inr  (h  x)  )@t  \mequiv{}  g@(r(2)  *  t)  -  r1


By

---

Latex:
((RepUR  ``path-at``  0  THEN  Fold  `path-at`  0)
  THEN  RepUR  ``path-at``  -1
  THEN  Fold  `path-at`  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((r(2)  *  t)  -  r1)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (Auto
                            THEN  DVar  `t'
                            THEN  All  Reduce
                            THEN  MemTypeCD
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}
                            THEN  Auto)
              ))

---

Home Index