---

Step * 2 of Lemma sum-in-vs-const


1. K : Rng
2. vs : VectorSpace(K)
3. n : ℤ
4. m : ℤ
5. f : {n..m + 1-} ⟶ |K|
6. a : Point(vs)
7. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℤ.
     (m - n < d ⇒ (∀f:{n..m + 1-} ⟶ |K|. (Σ{f[i] * a | n≤i≤m} = Σ(K) n ≤ i < m + 1. f[i] * a ∈ Point(vs))))
⊢ Σ{f[i] * a | n≤i≤m} = Σ(K) n ≤ i < m + 1. f[i] * a ∈ Point(vs)
BY
{ ((Decide ⌜n ≤ m⌝⋅ THENA Auto)
   THENL [((D -2 With ⌜(m - n) + 1⌝  THENA Auto) THEN BHyp -1 THEN Auto); (RWO "empty-sum-in-vs" 0 THENA Auto)]
) }

1
1. K : Rng
2. vs : VectorSpace(K)
3. n : ℤ
4. m : ℤ
5. f : {n..m + 1-} ⟶ |K|
6. a : Point(vs)
7. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℤ.
     (m - n < d ⇒ (∀f:{n..m + 1-} ⟶ |K|. (Σ{f[i] * a | n≤i≤m} = Σ(K) n ≤ i < m + 1. f[i] * a ∈ Point(vs))))
8. ¬(n ≤ m)
⊢ 0 = Σ(K) n ≤ i < m + 1. f[i] * a ∈ Point(vs)

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  Rng
2.  vs  :  VectorSpace(K)
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  f  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|
6.  a  :  Point(vs)
7.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}n,m:\mBbbZ{}.
          (m  -  n  <  d  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|.  (\mSigma{}\{f[i]  *  a  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}(K)  n  \mleq{}  i  <  m  +  1.  f[i]  *  a)))
\mvdash{}  \mSigma{}\{f[i]  *  a  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}(K)  n  \mleq{}  i  <  m  +  1.  f[i]  *  a


By

---

Latex:
((Decide  \mkleeneopen{}n  \mleq{}  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THENL  [((D  -2  With  \mkleeneopen{}(m  -  n)  +  1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  BHyp  -1  THEN  Auto)
              ;  (RWO  "empty-sum-in-vs"  0  THENA  Auto)]
)

---

Home Index