---

Step * 2 1 1 1 2 of Lemma vs-iso-iff-kernel-0


1. [K] : Rng
2. [A] : VectorSpace(K)
3. [B] : VectorSpace(K)
4. f : A ⟶ B
5. ∀a:Point(A). (a ∈ Ker(f) ⇐⇒ a = 0 ∈ Point(A))
6. ∀b:Point(B). ∃a:Point(A). ((f a) = b ∈ Point(B))
7. g : b:Point(B) ⟶ Point(A)
8. ∀b:Point(B). ((f (g b)) = b ∈ Point(B))
9. Inj(Point(A);Point(B);f)
10. g ∈ B ⟶ A
⊢ A ≅ B
BY
{ ((D 0 With ⌜f⌝  THENA Auto) THEN (D 0 With ⌜g⌝  THENA Auto)) }

1
1. [K] : Rng
2. [A] : VectorSpace(K)
3. [B] : VectorSpace(K)
4. f : A ⟶ B
5. ∀a:Point(A). (a ∈ Ker(f) ⇐⇒ a = 0 ∈ Point(A))
6. ∀b:Point(B). ∃a:Point(A). ((f a) = b ∈ Point(B))
7. g : b:Point(B) ⟶ Point(A)
8. ∀b:Point(B). ((f (g b)) = b ∈ Point(B))
9. Inj(Point(A);Point(B);f)
10. g ∈ B ⟶ A
⊢ (∀a:Point(A). ((g (f a)) = a ∈ Point(A))) ∧ (∀b:Point(B). ((f (g b)) = b ∈ Point(B)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [K]  :  Rng
2.  [A]  :  VectorSpace(K)
3.  [B]  :  VectorSpace(K)
4.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B
5.  \mforall{}a:Point(A).  (a  \mmember{}  Ker(f)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  a  =  0)
6.  \mforall{}b:Point(B).  \mexists{}a:Point(A).  ((f  a)  =  b)
7.  g  :  b:Point(B)  {}\mrightarrow{}  Point(A)
8.  \mforall{}b:Point(B).  ((f  (g  b))  =  b)
9.  Inj(Point(A);Point(B);f)
10.  g  \mmember{}  B  {}\mrightarrow{}  A
\mvdash{}  A  \mcong{}  B


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index