---

Step * 1 1 1 1 of Lemma Degree-implies-BrowerFPT


1. n : ℕ
2. ind : sphere-map(n) ⟶ ℤ
3. ∀f,g:sphere-map(n).  (sphere-map-eq(n;f;g) ⇒ ((ind f) = (ind g) ∈ ℤ))
4. ∀p:S(n). ((ind const-sphere-map(p)) = 0 ∈ ℤ)
5. (ind id-sphere-map()) = 1 ∈ ℤ
6. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
7. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
8. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
9. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
10. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n)\000C)
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
12. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
13. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
      (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
14. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
⊢ False
BY
{ ((Assert ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p))) BY
          (Auto
           THEN ((D 0 THEN Reduce 0) THEN Auto)
           THEN BackThruSomeHyp
           THEN BLemma `real-vec-mul_functionality`
           THEN EAuto 1))
   THEN (Assert ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ)) BY
               Auto)
   ) }

1
1. n : ℕ
2. ind : sphere-map(n) ⟶ ℤ
3. ∀f,g:sphere-map(n).  (sphere-map-eq(n;f;g) ⇒ ((ind f) = (ind g) ∈ ℤ))
4. ∀p:S(n). ((ind const-sphere-map(p)) = 0 ∈ ℤ)
5. (ind id-sphere-map()) = 1 ∈ ℤ
6. g : B(n + 1) ⟶ B(n + 1)
7. ∀x,y:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;x;y) ⇒ req-vec(n + 1;g x;g y))
8. ∀x:B(n + 1). (||g x|| = r1)
9. ∀x:B(n + 1). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n + 1;g x;x))
10. ∀h:{h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} . (g o h ∈ sphere-map(n)\000C)
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . ∀p:B(n + 1).  (t*p ∈ B(n + 1))
12. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (λp.t*p ∈ B(n + 1) ⟶ B(n + 1))
13. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} 
      (λp.t*p ∈ {h:B(n + 1) ⟶ B(n + 1)| ∀p,q:B(n + 1).  (req-vec(n + 1;p;q) ⇒ req-vec(n + 1;h p;h q))} )
14. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} . (g o (λp.t*p) ∈ sphere-map(n))
15. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ sphere-map-eq(n;g o (λp.t*p);g o (λp.s*p)))
16. ∀t,s:{t:ℝ| t ∈ [r0, r1]} .  ((t = s) ⇒ ((ind (g o (λp.t*p))) = (ind (g o (λp.s*p))) ∈ ℤ))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  ind  :  sphere-map(n)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}f,g:sphere-map(n).    (sphere-map-eq(n;f;g)  {}\mRightarrow{}  ((ind  f)  =  (ind  g)))
4.  \mforall{}p:S(n).  ((ind  const-sphere-map(p))  =  0)
5.  (ind  id-sphere-map())  =  1
6.  g  :  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)
7.  \mforall{}x,y:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;g  y))
8.  \mforall{}x:B(n  +  1).  (||g  x||  =  r1)
9.  \mforall{}x:B(n  +  1).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;g  x;x))
10.  \mforall{}h:\{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)|  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\} 
            (g  o  h  \mmember{}  sphere-map(n))
11.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  \mforall{}p:B(n  +  1).    (t*p  \mmember{}  B(n  +  1))
12.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1))
13.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
            (\mlambda{}p.t*p  \mmember{}  \{h:B(n  +  1)  {}\mrightarrow{}  B(n  +  1)| 
                                  \mforall{}p,q:B(n  +  1).    (req-vec(n  +  1;p;q)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n  +  1;h  p;h  q))\}  )
14.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)  \mmember{}  sphere-map(n))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  sphere-map-eq(n;g  o  (\mlambda{}p.t*p);g  o  (\mlambda{}p.s*p)))  BY
                (Auto
                  THEN  ((D  0  THEN  Reduce  0)  THEN  Auto)
                  THEN  BackThruSomeHyp
                  THEN  BLemma  `real-vec-mul\_functionality`
                  THEN  EAuto  1))
  THEN  (Assert  \mforall{}t,s:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .
                                ((t  =  s)  {}\mRightarrow{}  ((ind  (g  o  (\mlambda{}p.t*p)))  =  (ind  (g  o  (\mlambda{}p.s*p)))))  BY
                          Auto)
  )

---

Home Index