---

Step * 1 2 1 of Lemma no-retraction-case-1


1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
⊢ False
BY
{ Assert  ⌜∀c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ⇒ (∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
⊢ ∀c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ⇒ (∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)))

2
1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
12. ∀c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ⇒ (∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  K  :  1-dim-complex
3.  0  <  ||K||
4.  f  :  |K|  {}\mrightarrow{}  |\mpartial{}(K)|
5.  f:FUN(|K|;|\mpartial{}(K)|)
6.  \mforall{}a:|\mpartial{}(K)|.  f  a  \mequiv{}  a
7.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  \mexists{}i:\mBbbN{}||\mpartial{}(K)||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[i]  j))))
8.  g  :  x:|\mpartial{}(K)|  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||\mpartial{}(K)||
9.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[g  x]  j))))
10.  \mforall{}x,y:|\mpartial{}(K)|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y)))
11.  \mforall{}x,y:|K|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  x))  =  (g  (f  y))))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
Assert    \mkleeneopen{}\mforall{}c:\mBbbQ{}Cube(k).  ((c  \mmember{}  K)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}\^{}k.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  ((\mneg{}\mneg{}in-rat-cube(k;p;c))  {}\mRightarrow{}  f  p  \mequiv{}  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index