---

Step * 2 1 of Lemma real-cube-uniform-continuity


1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀a,b:ℕn - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀i:ℕn - 1. ((a i) < (b i)))
     ⇒ (∀f:{f:real-cube(n - 1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} .
         ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
           ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))))
5. a : ℕn ⟶ ℝ
6. b : ℕn ⟶ ℝ
7. ∀i:ℕn. ((a i) < (b i))
8. f : {f:real-cube(n;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
10. n = 1 ∈ ℤ
⊢ ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))
BY
{ ((Assert ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a 0, b 0]} . (λu.x ∈ real-cube(1;a;b)) BY
          ((D 0 THENA Auto)
           THEN ((MemTypeCD THENW Auto)
                 THENL [(Unfold `real-vec` 0 THEN Auto)
                       ; ((D 0 THENA Auto) THEN IntSegCases (-1) THEN Reduce 0 THEN Auto)]
                )
           ))
   THEN (InstLemma `real-fun-iff-continuous` [⌜a 0⌝;⌜b 0⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Eliminate ⌜n⌝⋅) }

1
1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < 1
4. ∀a,b:ℕ1 - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀i:ℕ1 - 1. ((a i) < (b i)))
     ⇒ (∀f:{f:real-cube(1 - 1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(1 - 1;a;b).  (req-vec(1 - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} .
         ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
           ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(1 - 1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))))
5. a : ℕ1 ⟶ ℝ
6. b : ℕ1 ⟶ ℝ
7. ∀i:ℕ1. ((a i) < (b i))
8. f : {f:real-cube(1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(1;a;b).  (req-vec(1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
10. n = 1 ∈ ℤ
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a 0, b 0]} . (λu.x ∈ real-cube(1;a;b))
12. ∀f:[a 0, b 0] ⟶ℝ. (real-fun(f;a 0;b 0) ⇐⇒ real-cont(f;a 0;b 0))
⊢ ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}a,b:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
          ((\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  ((a  i)  <  (b  i)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:real-cube(n  -  1;a;b)  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k| 
                          \mforall{}x,y:real-cube(n  -  1;a;b).    (req-vec(n  -  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}| 
                                                                                                                                                                                    r0  <  e\}  .
                      \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:real-cube(n  -  1;a;b).    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  e))))
5.  a  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  b  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((a  i)  <  (b  i))
8.  f  :  \{f:real-cube(n;a;b)  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k|  \mforall{}x,y:real-cube(n;a;b).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\} 
9.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
10.  n  =  1
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:real-cube(1;a;b).    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  e))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a  0,  b  0]\}  .  (\mlambda{}u.x  \mmember{}  real-cube(1;a;b))  BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  ((MemTypeCD  THENW  Auto)
                              THENL  [(Unfold  `real-vec`  0  THEN  Auto)
                                          ;  ((D  0  THENA  Auto)  THEN  IntSegCases  (-1)  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)]
                            )
                  ))
  THEN  (InstLemma  `real-fun-iff-continuous`  [\mkleeneopen{}a  0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b  0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index