---

Step * 2 2 1 of Lemma real-cube-uniform-continuity

.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. 2 ≤ n
4. ∀a,b:ℕn - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀i:ℕn - 1. ((a i) < (b i)))
     ⇒ (∀f:{f:real-cube(n - 1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} .
         ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
           ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))))
5. a : ℕn ⟶ ℝ
6. b : ℕn ⟶ ℝ
7. ∀i:ℕn. ((a i) < (b i))
8. f : {f:real-cube(n;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ ∀i:ℕn. ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (((x i) = (y i)) ⇒ (d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ (e/r(2))))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (Assert ∀t:{t:ℝ| t ∈ [a i, b i]} 
                  ∃d:ℕ+. ∀x,y:{p:real-cube(n;a;b)| (p i) = t} .  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ (e/r(2)))) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN (InstHyp[⌜λj.if j <z i then a j else a (j + 1) fi ⌝;⌜λj.if j <z i then b j else b (j + 1) fi ⌝] 4⋅
                      THENA (Reduce 0 THEN Auto)
                      )
                ))
   ) }

1
.....aux..... 
1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. 2 ≤ n
4. ∀a,b:ℕn - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀i:ℕn - 1. ((a i) < (b i)))
     ⇒ (∀f:{f:real-cube(n - 1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} .
         ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
           ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))))
5. a : ℕn ⟶ ℝ
6. b : ℕn ⟶ ℝ
7. ∀i:ℕn. ((a i) < (b i))
8. f : {f:real-cube(n;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
10. i : ℕn
11. t : {t:ℝ| t ∈ [a i, b i]} 
12. ∀f:{f:real-cube(n - 1;λj.if j <z i then a j else a (j + 1) fi ;λj.if j <z i then b j else b (j + 1) fi ) ⟶ ℝ^k| 
        ∀x,y:real-cube(n - 1;λj.if j <z i then a j else a (j + 1) fi ;λj.if j <z i then b j else b (j + 1) fi ).
          (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
      ∃d:ℕ+
       ∀x,y:real-cube(n - 1;λj.if j <z i then a j else a (j + 1) fi ;λj.if j <z i then b j else b (j + 1) fi ).
         ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))
⊢ ∃d:ℕ+. ∀x,y:{p:real-cube(n;a;b)| (p i) = t} .  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ (e/r(2))))

2
1. k : ℕ
2. n : ℤ
3. 2 ≤ n
4. ∀a,b:ℕn - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀i:ℕn - 1. ((a i) < (b i)))
     ⇒ (∀f:{f:real-cube(n - 1;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} .
         ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
           ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n - 1;a;b).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))))
5. a : ℕn ⟶ ℝ
6. b : ℕn ⟶ ℝ
7. ∀i:ℕn. ((a i) < (b i))
8. f : {f:real-cube(n;a;b) ⟶ ℝ^k| ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
10. i : ℕn
11. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [a i, b i]} 
      ∃d:ℕ+. ∀x,y:{p:real-cube(n;a;b)| (p i) = t} .  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ (e/r(2))))
⊢ ∃d:ℕ+. ∀x,y:real-cube(n;a;b).  (((x i) = (y i)) ⇒ (d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ (e/r(2))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  2  \mleq{}  n
4.  \mforall{}a,b:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
          ((\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  ((a  i)  <  (b  i)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:real-cube(n  -  1;a;b)  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k| 
                          \mforall{}x,y:real-cube(n  -  1;a;b).    (req-vec(n  -  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}| 
                                                                                                                                                                                    r0  <  e\}  .
                      \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:real-cube(n  -  1;a;b).    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  e))))
5.  a  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  b  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((a  i)  <  (b  i))
8.  f  :  \{f:real-cube(n;a;b)  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k|  \mforall{}x,y:real-cube(n;a;b).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\} 
9.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  \mforall{}i:\mBbbN{}n
        \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x,y:real-cube(n;a;b).    (((x  i)  =  (y  i))  {}\mRightarrow{}  (d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  (e/r(2))))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a  i,  b  i]\} 
                                \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}
                                  \mforall{}x,y:\{p:real-cube(n;a;b)|  (p  i)  =  t\}  .
                                      ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  (e/r(2))))  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  (InstHyp[\mkleeneopen{}\mlambda{}j.if  j  <z  i  then  a  j  else  a  (j  +  1)  fi  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}j.if  j  <z  i
                                                                                                                                                      then  b  j
                                                                                                                                                      else  b  (j  +  1)
                                                                                                                                                      fi  \mkleeneclose{}]  4\mcdot{}
                                        THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
                                        )
                            ))
  )

---

Home Index