---

Step * 2 1 of Lemma remove-singularity


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. k : ℕ
4. f : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. z : X
6. ∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
7. cau : ∀[p:ℝ^k]. mcauchy(d;n.remove-singularity-seq(k;p;f;z) n)
8. cmplt : mcomplete(X with d)
9. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ cauchy-mlimit(cmplt;remove-singularity-seq(k;p;f;z);cau) ≡ z)
10. p : {p:ℝ^k| r0 < ||p||} 
11. r0 < ||p||
12. (r0 < ||p||) ⇐ ∃n:ℕ. ((realvec-ibs(k;p) n) = 1 ∈ ℤ)
13. ∀n:ℕ. (((realvec-ibs(k;p) n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (||p|| ≤ (r(4)/r(n + 1))))
14. n : ℕ
15. (realvec-ibs(k;p) n) = 1 ∈ ℤ
16. ∀[n@0:ℕ]. (realvec-ibs(k;p) n@0) = 1 ∈ ℤ supposing n ≤ n@0
⊢ lim n→∞.remove-singularity-seq(k;p;f;z) n = f p
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN D 0 With ⌜n⌝  THEN Auto) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. k : ℕ
4. f : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. z : X
6. ∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
7. cau : ∀[p:ℝ^k]. mcauchy(d;n.remove-singularity-seq(k;p;f;z) n)
8. cmplt : mcomplete(X with d)
9. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ cauchy-mlimit(cmplt;remove-singularity-seq(k;p;f;z);cau) ≡ z)
10. p : {p:ℝ^k| r0 < ||p||} 
11. r0 < ||p||
12. (r0 < ||p||) ⇐ ∃n:ℕ. ((realvec-ibs(k;p) n) = 1 ∈ ℤ)
13. ∀n:ℕ. (((realvec-ibs(k;p) n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (||p|| ≤ (r(4)/r(n + 1))))
14. n : ℕ
15. (realvec-ibs(k;p) n) = 1 ∈ ℤ
16. ∀[n@0:ℕ]. (realvec-ibs(k;p) n@0) = 1 ∈ ℤ supposing n ≤ n@0
17. k@0 : ℕ+
18. n@0 : ℕ
19. n ≤ n@0
⊢ mdist(d;remove-singularity-seq(k;p;f;z) n@0;f p) ≤ (r1/r(k@0))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  f  :  \{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}    {}\mrightarrow{}  X
5.  z  :  X
6.  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  c\} 
        \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .    ((||p||  \mleq{}  (r(4)/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;f  p;z)  \mleq{}  (c/r(m))))
7.  cau  :  \mforall{}[p:\mBbbR{}\^{}k].  mcauchy(d;n.remove-singularity-seq(k;p;f;z)  n)
8.  cmplt  :  mcomplete(X  with  d)
9.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  (req-vec(k;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  cauchy-mlimit(cmplt;remove-singularity-seq(k;p;f;z);cau)  \mequiv{}  z)
10.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\} 
11.  r0  <  ||p||
12.  (r0  <  ||p||)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  ((realvec-ibs(k;p)  n)  =  1)
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (((realvec-ibs(k;p)  n)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (||p||  \mleq{}  (r(4)/r(n  +  1))))
14.  n  :  \mBbbN{}
15.  (realvec-ibs(k;p)  n)  =  1
16.  \mforall{}[n@0:\mBbbN{}].  (realvec-ibs(k;p)  n@0)  =  1  supposing  n  \mleq{}  n@0
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.remove-singularity-seq(k;p;f;z)  n  =  f  p


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index