---

Step * 2 1 of Lemma unit-ball-to-unit-cube


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. m : ℕ+
8. p : {p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} 
9. mdist(max-metric(n);p;λi.r0) ≤ (r(4)/r(m))
⊢ mdist(rn-metric(n);(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p;λi.r0) ≤ (r(4 * n * n)/r(m))
BY
{ ((Assert r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0) BY
          (DVar `p' THEN Auto))
   THEN DupHyp (-1)
   THEN DVar `p'
   THEN (RWO "mdist-symm" (-1) THENA Auto)
   THEN (D 5 With ⌜p⌝  THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (D -1 THENA Auto)
   THEN (Assert (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0)) ∈ ℝ BY
               Auto)
   THEN (RWO "mdist-rn-metric-mul" 0 THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-5)
   THEN GenConclTerm ⌜mdist(max-metric(n);p;λi.r0)⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
6. m : ℕ+
7. p : ℝ^n
8. r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)
9. mdist(max-metric(n);p;λi.r0) ≤ (r(4)/r(m))
10. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)
11. r0 < ||p||
12. (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0)) ∈ ℝ
13. v : ℝ
14. mdist(max-metric(n);p;λi.r0) = v ∈ ℝ
15. r0 < v
16. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)
⊢ (|(||p||/v)| * mdist(rn-metric(n);p;λi.r0)) ≤ (r(4 * n * n)/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
4.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} 
9.  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  (r(4)/r(m))
\mvdash{}  mdist(rn-metric(n);(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p;\mlambda{}i.r0)  \mleq{}  (r(4  *  n  *  n)/r(m))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)  BY
                (DVar  `p'  THEN  Auto))
  THEN  DupHyp  (-1)
  THEN  DVar  `p'
  THEN  (RWO  "mdist-symm"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (D  5  With  \mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (D  -1  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          Auto)
  THEN  (RWO  "mdist-rn-metric-mul"  0  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-5)
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index