---

Step * 2 2 1 1 of Lemma unit-ball-to-unit-cube

.....set predicate..... 
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
⊢ mdist(max-metric(n);λi.r0;h x) ≤ r1
BY
{ ((StableCases ⌜r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try (((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
              THEN (Assert req-vec(n;x;λi.r0) BY
                          ((BLemma `meq-max-metric` THEN Auto)
                           THEN Unfold `meq` 0
                           THEN Fold `mdist` 0
                           THEN BLemma `rleq_antisymmetry`
                           THEN Auto))
              THEN (RWO "-8" 0 THEN Auto)
              THEN RWO "mdist-same" 0
              THEN Auto))
   ) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
⊢ mdist(max-metric(n);λi.r0;h x) ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
4.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
7.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  .  h  p  \mequiv{}  (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
10.  \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\000C\mRightarrow{}  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
\mvdash{}  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;h  x)  \mleq{}  r1


By

---

Latex:
((StableCases  \mkleeneopen{}r0  <  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
                        THEN  (Assert  req-vec(n;x;\mlambda{}i.r0)  BY
                                                ((BLemma  `meq-max-metric`  THEN  Auto)
                                                  THEN  Unfold  `meq`  0
                                                  THEN  Fold  `mdist`  0
                                                  THEN  BLemma  `rleq\_antisymmetry`
                                                  THEN  Auto))
                        THEN  (RWO  "-8"  0  THEN  Auto)
                        THEN  RWO  "mdist-same"  0
                        THEN  Auto))
  )

---

Home Index