---

Step * 2 2 of Lemma unit-cube-to-unit-ball


1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. ∃g:ℝ^n ⟶ ℝ^n
    ((∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0))
    ∧ (∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p)
    ∧ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)))
⊢ ∃g:ℝ^n ⟶ ℝ^n
   ((∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0))
   ∧ (∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p)
   ∧ (g ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} )
   ∧ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n))
BY
{ Reduce -1 }

1
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. ∃g:ℝ^n ⟶ ℝ^n
    ((∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0))
    ∧ (∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p)
    ∧ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)))
⊢ ∃g:ℝ^n ⟶ ℝ^n
   ((∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0))
   ∧ (∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p)
   ∧ (g ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} )
   ∧ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
3.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
4.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  ((mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
6.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mexists{}g:\mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
        ((\mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0))
        \mwedge{}  (\mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p)  p)
        \mwedge{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\mRightarrow{}  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)))
\mvdash{}  \mexists{}g:\mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
      ((\mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0))
      \mwedge{}  (\mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p)  p)
      \mwedge{}  (g  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}  )
      \mwedge{}  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n))


By

---

Latex:
Reduce  -1

---

Home Index