---

Step * of Lemma Cauchy-Schwarz3-strict

∀n:ℕ. ∀x,y:ℕn ⟶ ℝ.
  (∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
  ⇐⇒ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| < (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})))
BY
{ (InstLemma `Cauchy-Schwarz2-strict` []
   THEN RepeatFor 3 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN (Assert ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) BY
               (Auto THEN BLemma `rsum_nonneg` THEN Auto THEN D 0 THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ
2. x : ℕn ⟶ ℝ
3. y : ℕn ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
    * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| < (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    (\mexists{}i,j:\mBbbN{}n.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  |\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|  <  (rsqrt(\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
            *  rsqrt(\mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})))


By

---

Latex:
(InstLemma  `Cauchy-Schwarz2-strict`  []
  THEN  RepeatFor  3  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (r0  \mleq{}  \mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  BY
                          (Auto  THEN  BLemma  `rsum\_nonneg`  THEN  Auto  THEN  D  0  THEN  Auto)))

---

Home Index