---

Step * of Lemma Cauchy-Schwarz3

∀[n:ℕ]. ∀[x,y:ℕn ⟶ ℝ].
  (|Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| ≤ (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})))
BY
{ (InstLemma `Cauchy-Schwarz2` []
   THEN RepeatFor 3 (ParallelLast')
   THEN (Assert ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) BY
               (Auto THEN BLemma `rsum_nonneg` THEN Auto THEN D 0 THEN Auto))) }

1
1. [n] : ℕ
2. [x] : ℕn ⟶ ℝ
3. [y] : ℕn ⟶ ℝ
4. (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) ≤ (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| ≤ (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[x,y:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}].
    (|\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|  \mleq{}  (rsqrt(\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
    *  rsqrt(\mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})))


By

---

Latex:
(InstLemma  `Cauchy-Schwarz2`  []
  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast')
  THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (r0  \mleq{}  \mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  BY
                          (Auto  THEN  BLemma  `rsum\_nonneg`  THEN  Auto  THEN  D  0  THEN  Auto)))

---

Home Index