---

Step * 1 2 1 of Lemma IVT-locally-non-constant-open

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
8. c : ℝ
9. f(a) < c
10. c < f(b)
11. a' : ℝ
12. a < a'
13. a' < b
14. f(a') < c
⊢ ∃b':ℝ. (((a' < b') ∧ (b' < b)) ∧ (c < f(b')))
BY
{ ((D 6 With ⌜1⌝  THENA Auto) THEN All (RepUR ``i-approx``) THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
7. c : ℝ
8. f(a) < c
9. c < f(b)
10. a' : ℝ
11. a < a'
12. a' < b
13. f(a') < c
14. ∀n:ℕ+
      (∃d:ℝ [((r0 < d)
            ∧ (∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∃b':ℝ. (((a' < b') ∧ (b' < b)) ∧ (c < f(b')))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  a  <  b
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  \mforall{}a',b':\mBbbR{}.    (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  <  b))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}.  locally-non-constant(f;a';b';c)))
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  f(a)  <  c
10.  c  <  f(b)
11.  a'  :  \mBbbR{}
12.  a  <  a'
13.  a'  <  b
14.  f(a')  <  c
\mvdash{}  \mexists{}b':\mBbbR{}.  (((a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  <  b))  \mwedge{}  (c  <  f(b')))


By

---

Latex:
((D  6  With  \mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  All  (RepUR  ``i-approx``)  THEN  Auto)

---

Home Index