---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma IVT-locally-non-constant-open


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
8. c : ℝ
9. f(a) < c
10. c < f(b)
11. a' : ℝ
12. a < a'
13. a' < b
14. f(a') < c
15. b' : ℝ
16. a' < b'
17. b' < b
18. c < f(b')
19. x : {x:ℝ| x ∈ [a', b']} 
20. y : {x:ℝ| x ∈ [a', b']} 
21. x = y
⊢ f[x] = f[y]
BY
{ (((Assert x ∈ [a, b] BY
           (DSetVars THEN Unhide THEN All Reduce THEN Auto))
    THEN (Assert y ∈ [a, b] BY
                (DSetVars THEN Unhide THEN All Reduce THEN Auto))
    )
   THEN (InstLemma `continuous-implies-functional` [⌜[a, b]⌝;⌜f⌝]⋅ THEN Auto)⋅
   ) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  a  <  b
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  \mforall{}a',b':\mBbbR{}.    (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  <  b))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}.  locally-non-constant(f;a';b';c)))
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  f(a)  <  c
10.  c  <  f(b)
11.  a'  :  \mBbbR{}
12.  a  <  a'
13.  a'  <  b
14.  f(a')  <  c
15.  b'  :  \mBbbR{}
16.  a'  <  b'
17.  b'  <  b
18.  c  <  f(b')
19.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a',  b']\} 
20.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a',  b']\} 
21.  x  =  y
\mvdash{}  f[x]  =  f[y]


By

---

Latex:
(((Assert  x  \mmember{}  [a,  b]  BY
                  (DSetVars  THEN  Unhide  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
    THEN  (Assert  y  \mmember{}  [a,  b]  BY
                            (DSetVars  THEN  Unhide  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
    )
  THEN  (InstLemma  `continuous-implies-functional`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}
  )

---

Home Index