---

Step * of Lemma Taylor-series-around-zero-converges-everywhere

∀F:ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
  ((∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
  ⇒ infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
  ⇒ (∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞))
  ⇒ lim k→∞.Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x^i | 0≤i≤k} = λx.F[0;x] for x ∈ (-∞, ∞))
BY
{ ((InstLemma `Taylor-series-converges-everywhere` [⌜r0⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 4 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN BLemma `fun-converges-to_functionality`
   THEN Auto) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
5. k : ℕ
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x - r0^i | 0≤i≤k} = Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x^i | 0≤i≤k}

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}F:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
    ((\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
    {}\mRightarrow{}  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{}))
    {}\mRightarrow{}  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{(F[i;r0]/r((i)!))  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  =  \mlambda{}x.F[0;x]  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{}))


By

---

Latex:
((InstLemma  `Taylor-series-converges-everywhere`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  4  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  BLemma  `fun-converges-to\_functionality`
  THEN  Auto)

---

Home Index