---

Step * 1 of Lemma Taylor-series-around-zero-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
5. k : ℕ
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x - r0^i | 0≤i≤k} = Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x^i | 0≤i≤k}
BY
{ ((Assert (x - r0) = x BY (nRNorm 0 THEN Auto)) THEN BLemma `rsum_functionality` THEN Auto THEN D 0 THEN Auto) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
5. k : ℕ
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
7. (x - r0) = x
8. i : ℤ
9. 0 ≤ i
10. i ≤ k
⊢ ((F[i;r0]/r((i)!)) * x - r0^i) = ((F[i;r0]/r((i)!)) * x^i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  k  :  \mBbbN{}
6.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
\mvdash{}  \mSigma{}\{(F[i;r0]/r((i)!))  *  x  -  r0\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  =  \mSigma{}\{(F[i;r0]/r((i)!))  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}


By

---

Latex:
((Assert  (x  -  r0)  =  x  BY
                (nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  BLemma  `rsum\_functionality`
  THEN  Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto)

---

Home Index