---

Step * 4 of Lemma Taylor-series-converges-everywhere


1. a : ℝ
2. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
3. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
4. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
5. ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
6. m : ℕ+
7. [%4] : icompact([r(-m), r(m)])
8. t : {t:ℝ| r0 < t} 
9. [r(-m), r(m)] ⊆ (a - t, a + t) 
10. lim k→∞.Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} = λx.F[0;x] for x ∈ (a - t, a + t)
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
BY
{ ((InstLemma `i-approx-containing2` [⌜(a - t, a + t)⌝;⌜r(-m)⌝;⌜r(m)⌝]⋅ THENA Auto) THEN D -1) }

1
1. a : ℝ
2. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
3. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
4. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
5. ∀r:{r:ℝ| r0 ≤ r} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
6. m : ℕ+
7. [%4] : icompact([r(-m), r(m)])
8. t : {t:ℝ| r0 < t} 
9. [r(-m), r(m)] ⊆ (a - t, a + t) 
10. lim k→∞.Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} = λx.F[0;x] for x ∈ (a - t, a + t)
11. n : ℕ+
12. (r(-m) ∈ i-approx((a - t, a + t);n)) ∧ (r(m) ∈ i-approx((a - t, a + t);n))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
4.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
5.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
6.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  [\%4]  :  icompact([r(-m),  r(m)])
8.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
9.  [r(-m),  r(m)]  \msubseteq{}  (a  -  t,  a  +  t) 
10.  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  =  \mlambda{}x.F[0;x]  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)
\mvdash{}  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-m)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(m))\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
              (|\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  F[0;x]|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `i-approx-containing2`  [\mkleeneopen{}(a  -  t,  a  +  t)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r(-m)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r(m)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  -1)

---

Home Index