---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma Taylor-series-converges


1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. m : ℕ+
8. icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
9. iproper(i-approx((a - t, a + t);m))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)} . ∀k:{N...}.
       (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
BY
{ ((Assert r0 ≤ (t - (r1/r(m))) BY
          (Thin (-1)
           THEN D -1
           THEN Thin (-1)
           THEN D -1
           THEN RepUR ``i-member`` -1
           THEN MoveToConcl (-1)
           THEN (GenConclTerm ⌜(r1/r(m))⌝⋅ THENA Auto)
           THEN nRNorm 0
           THEN Auto
           THEN (Assert (a + -(t) + v) ≤ (a + t + -(v)) BY
                       Auto)
           THEN (nRAdd ⌜t - a + v⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
           THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 0⋅
           THEN Auto
           THEN RWW "rmul_over_rminus.1< rminus-int" 0
           THEN Auto))
   THEN (With ⌜t - (r1/r(m))⌝ (D 6)⋅ THENA (Auto THEN MemTypeCD THEN Auto THEN nRAdd ⌜(r1/r(m)) - t⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (With ⌜m⌝ (D (-1))⋅ THENA (Auto THEN RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto))
   THEN RepUR ``i-approx`` -1) }

1
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. m : ℕ+
7. icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
8. iproper(i-approx((a - t, a + t);m))
9. r0 ≤ (t - (r1/r(m)))
10. ∀k@0:ℕ+
      ∃N:ℕ+
       ∀x:{x:ℝ| (((a - t) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m))))} . ∀k:{N...}.
         (|(t - (r1/r(m))^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(k@0)))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)} . ∀k:{N...}.
       (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
3.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a  -  t,  a  +  t)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
5.  infinite-deriv-seq((a  -  t,  a  +  t);i,x.F[i;x])
6.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  <  t)\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  icompact(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
9.  iproper(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
\mvdash{}  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m)\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
              (|\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  F[0;x]|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))


By

---

Latex:
((Assert  r0  \mleq{}  (t  -  (r1/r(m)))  BY
                (Thin  (-1)
                  THEN  D  -1
                  THEN  Thin  (-1)
                  THEN  D  -1
                  THEN  RepUR  ``i-member``  -1
                  THEN  MoveToConcl  (-1)
                  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}(r1/r(m))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  nRNorm  0
                  THEN  Auto
                  THEN  (Assert  (a  +  -(t)  +  v)  \mleq{}  (a  +  t  +  -(v))  BY
                                          Auto)
                  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}t  -  a  +  v\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto
                  THEN  RWW  "rmul\_over\_rminus.1<  rminus-int"  0
                  THEN  Auto))
  THEN  (With  \mkleeneopen{}t  -  (r1/r(m))\mkleeneclose{}  (D  6)\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}(r1/r(m))  -  t\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
              )
  THEN  (With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``i-approx``  0  THEN  Auto))
  THEN  RepUR  ``i-approx``  -1)

---

Home Index