---

Step * 1 2 1 1 1 1 of Lemma Taylor-series-converges


1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. m : ℕ+
7. icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
8. iproper(i-approx((a - t, a + t);m))
9. r0 ≤ (t - (r1/r(m)))
10. ∀k@0:ℕ+
      ∃N:ℕ+
       ∀x:{x:ℝ| (((a - t) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m))))} . ∀k:{N...}.
         (|(t - (r1/r(m))^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(k@0)))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)} . ∀k:{N...}.
       (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
BY
{ (TACTIC:Auto THEN RenameVar `n' (-1)) }

1
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. m : ℕ+
7. icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
8. iproper(i-approx((a - t, a + t);m))
9. r0 ≤ (t - (r1/r(m)))
10. ∀k@0:ℕ+
      ∃N:ℕ+
       ∀x:{x:ℝ| (((a - t) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m))))} . ∀k:{N...}.
         (|(t - (r1/r(m))^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(k@0)))
11. n : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)} . ∀k:{N...}.  (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(n)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
3.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a  -  t,  a  +  t)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
5.  infinite-deriv-seq((a  -  t,  a  +  t);i,x.F[i;x])
6.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  icompact(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
8.  iproper(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
9.  r0  \mleq{}  (t  -  (r1/r(m)))
10.  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
              \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (((a  -  t)  +  (r1/r(m)))  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  ((a  +  t)  -  (r1/r(m))))\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
                  (|(t  -  (r1/r(m))\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))
\mvdash{}  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m)\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
              (|\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  F[0;x]|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))


By

---

Latex:
(TACTIC:Auto  THEN  RenameVar  `n'  (-1))

---

Home Index