---

Step * of Lemma Taylor-theorem-case2

∀I:Interval
  (iproper(I)
  ⇒ (∀n:ℕ+. ∀F:ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ. ∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .
        ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
        ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
        ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))))))))
BY
{ xxx(Auto THEN Assert ⌜∃M:ℕ+. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))⌝⋅)xxx }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
⊢ ∃M:ℕ+. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. ∃M:ℕ+. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}F:\mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}a,b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .
                ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
                {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:\mBbbR{}
                            ((r0  <  e)
                            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}d:\mBbbR{}
                                      ((r0  <  d)
                                      \mwedge{}  ((|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)))))))))


By

---

Latex:
xxx(Auto  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1.  (|(F[k;a]/r((k)!))|  \mleq{}  r(M))\mkleeneclose{}\mcdot{})xxx

---

Home Index