---

Step * 2 of Lemma Taylor-theorem-case2


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. ∃M:ℕ+. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))
BY
{ ((InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜e⌝]⋅ THENA Auto) THEN ExRepD) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. M : ℕ+
12. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < e
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1.  (|(F[k;a]/r((k)!))|  \mleq{}  r(M))
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  ((|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)

---

Home Index