---

Step * 2 1 of Lemma Taylor-theorem-case2


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. M : ℕ+
12. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < e
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))
BY
{ xxx((Assert [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I  BY
             EAuto 2)
      THEN (Assert F[0;x] continuous for x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)] BY
                  ((Assert F[0;x] continuous for x ∈ I BY
                          (BLemma `function-is-continuous` THEN Auto))
                   THEN FLemma `continuous_functionality_wrt_subinterval` [-1;-2]
                   THEN Auto))
      THEN (With ⌜1⌝ (D (-1))⋅ THENA (Auto THEN RepUR ``i-approx`` 0 THEN EAuto 2)))xxx }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. M : ℕ+
12. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < e
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. ∀n:ℕ+
      (∃d:ℝ [((r0 < d)
            ∧ (∀x,y:ℝ.
                 ((x ∈ i-approx([rmin(a;b), rmax(a;b)];1))
                 ⇒ (y ∈ i-approx([rmin(a;b), rmax(a;b)];1))
                 ⇒ (|x - y| ≤ d)
                 ⇒ (|F[0;x] - F[0;y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1.  (|(F[k;a]/r((k)!))|  \mleq{}  r(M))
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  (r1/r(k))  <  e
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  ((|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)))


By

---

Latex:
xxx((Assert  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I    BY
                      EAuto  2)
        THEN  (Assert  F[0;x]  continuous  for  x  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  BY
                                ((Assert  F[0;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I  BY
                                                (BLemma  `function-is-continuous`  THEN  Auto))
                                  THEN  FLemma  `continuous\_functionality\_wrt\_subinterval`  [-1;-2]
                                  THEN  Auto))
        THEN  (With  \mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``i-approx``  0  THEN  EAuto  2)))xxx

---

Home Index