---

Step * 2 1 1 of Lemma Taylor-theorem-case2


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. M : ℕ+
12. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < e
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. ∀n:ℕ+
      (∃d:ℝ [((r0 < d)
            ∧ (∀x,y:ℝ.
                 ((x ∈ i-approx([rmin(a;b), rmax(a;b)];1))
                 ⇒ (y ∈ i-approx([rmin(a;b), rmax(a;b)];1))
                 ⇒ (|x - y| ≤ d)
                 ⇒ (|F[0;x] - F[0;y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))
BY
{ ((With ⌜2 * k⌝ (D (-1))⋅ THENA Auto) THEN ExRepD THEN RepUR ``i-approx`` (-1)) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. M : ℕ+
12. ∀k:ℕ+n + 1. (|(F[k;a]/r((k)!))| ≤ r(M))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < e
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. ∀x,y:ℝ.
      (((rmin(a;b) ≤ x) ∧ (x ≤ rmax(a;b)))
      ⇒ ((rmin(a;b) ≤ y) ∧ (y ≤ rmax(a;b)))
      ⇒ (|x - y| ≤ d)
      ⇒ (|F[0;x] - F[0;y]| ≤ (r1/r(2 * k))))
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ ((|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1.  (|(F[k;a]/r((k)!))|  \mleq{}  r(M))
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  (r1/r(k))  <  e
15.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
16.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                        \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                  ((x  \mmember{}  i-approx([rmin(a;b),  rmax(a;b)];1))
                                  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx([rmin(a;b),  rmax(a;b)];1))
                                  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                  {}\mRightarrow{}  (|F[0;x]  -  F[0;y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  ((|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)))


By

---

Latex:
((With  \mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD  THEN  RepUR  ``i-approx``  (-1))

---

Home Index