---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 of Lemma approx-arg-interval_wf


1. l : ℝ
2. r : ℝ
3. l < r
4. f : [l, r] ⟶ℝ
5. f' : [l, r] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ [l, r]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [l, r]
8. B : ℕ
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} . (|f'[x]| ≤ r(B))
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
11. x : ℝ
12. x ∈ [l, r]
13. n : ℕ+
14. m : ℕ+
15. v : ℝ
16. v ∈ [l, r]
17. |x - v| ≤ (r(2)/r(n))
18. approx-in-interval(l;r;x;n) = v ∈ {y:ℝ| (y ∈ [l, r]) ∧ (|x - y| ≤ (r(2)/r(n)))} 
19. v1 : ℝ
20. v1 ∈ [l, r]
21. |x - v1| ≤ (r(2)/r(m))
22. approx-in-interval(l;r;x;m) = v1 ∈ {y:ℝ| (y ∈ [l, r]) ∧ (|x - y| ≤ (r(2)/r(m)))} 
23. |r(m * (f v n)) - r(2 * n * m) * (f v)| ≤ r(2 * m)
24. |(r(2 * n * m) * (f v1)) - r(n * (f v1 m))| ≤ r(2 * n)
25. ((r(2 * n * m) * (f v)) - r(2 * n * m) * (f v1)) = (r(2 * n * m) * (f[v] - f[v1]))
26. v2 : ℝ
27. (f[v] - f[v1]) = v2 ∈ ℝ
28. |v2| ≤ (r(B) * |v - v1|)
⊢ (r(2 * m) + (r(2 * n * m) * |v2|) + r(2 * n)) ≤ r((2 * (1 + (2 * B))) * (n + m))
BY
{ (Assert |v - v1| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m))) BY
         (UseTriangleInequality [⌜x⌝]⋅ THEN Auto)) }

1
1. l : ℝ
2. r : ℝ
3. l < r
4. f : [l, r] ⟶ℝ
5. f' : [l, r] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ [l, r]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [l, r]
8. B : ℕ
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} . (|f'[x]| ≤ r(B))
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
11. x : ℝ
12. x ∈ [l, r]
13. n : ℕ+
14. m : ℕ+
15. v : ℝ
16. v ∈ [l, r]
17. |x - v| ≤ (r(2)/r(n))
18. approx-in-interval(l;r;x;n) = v ∈ {y:ℝ| (y ∈ [l, r]) ∧ (|x - y| ≤ (r(2)/r(n)))} 
19. v1 : ℝ
20. v1 ∈ [l, r]
21. |x - v1| ≤ (r(2)/r(m))
22. approx-in-interval(l;r;x;m) = v1 ∈ {y:ℝ| (y ∈ [l, r]) ∧ (|x - y| ≤ (r(2)/r(m)))} 
23. |r(m * (f v n)) - r(2 * n * m) * (f v)| ≤ r(2 * m)
24. |(r(2 * n * m) * (f v1)) - r(n * (f v1 m))| ≤ r(2 * n)
25. ((r(2 * n * m) * (f v)) - r(2 * n * m) * (f v1)) = (r(2 * n * m) * (f[v] - f[v1]))
26. v2 : ℝ
27. (f[v] - f[v1]) = v2 ∈ ℝ
28. |v2| ≤ (r(B) * |v - v1|)
29. |v - v1| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m)))
⊢ (r(2 * m) + (r(2 * n * m) * |v2|) + r(2 * n)) ≤ r((2 * (1 + (2 * B))) * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  l  :  \mBbbR{}
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  l  <  r
4.  f  :  [l,  r]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  f'  :  [l,  r]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [l,  r]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
7.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [l,  r]
8.  B  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [l,  r]\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
10.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [l,  r]\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x  \mmember{}  [l,  r]
13.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  v  :  \mBbbR{}
16.  v  \mmember{}  [l,  r]
17.  |x  -  v|  \mleq{}  (r(2)/r(n))
18.  approx-in-interval(l;r;x;n)  =  v
19.  v1  :  \mBbbR{}
20.  v1  \mmember{}  [l,  r]
21.  |x  -  v1|  \mleq{}  (r(2)/r(m))
22.  approx-in-interval(l;r;x;m)  =  v1
23.  |r(m  *  (f  v  n))  -  r(2  *  n  *  m)  *  (f  v)|  \mleq{}  r(2  *  m)
24.  |(r(2  *  n  *  m)  *  (f  v1))  -  r(n  *  (f  v1  m))|  \mleq{}  r(2  *  n)
25.  ((r(2  *  n  *  m)  *  (f  v))  -  r(2  *  n  *  m)  *  (f  v1))  =  (r(2  *  n  *  m)  *  (f[v]  -  f[v1]))
26.  v2  :  \mBbbR{}
27.  (f[v]  -  f[v1])  =  v2
28.  |v2|  \mleq{}  (r(B)  *  |v  -  v1|)
\mvdash{}  (r(2  *  m)  +  (r(2  *  n  *  m)  *  |v2|)  +  r(2  *  n))  \mleq{}  r((2  *  (1  +  (2  *  B)))  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
(Assert  |v  -  v1|  \mleq{}  ((r(2)/r(n))  +  (r(2)/r(m)))  BY
              (UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index