---

Step * 1 of Lemma closures-meet'


1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))
BY
{ Assert ⌜∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
           ∀n:ℕ
             ((a[n] ∈ P)
             ∧ (b[n] ∈ Q)
             ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
             ∧ (a[n + 1] < b[n + 1])
             ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
             ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
   ∀n:ℕ
     ((a[n] ∈ P)
     ∧ (b[n] ∈ Q)
     ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
     ∧ (a[n + 1] < b[n + 1])
     ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
     ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))

2
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
     ∀n:ℕ
       ((a[n] ∈ P)
       ∧ (b[n] ∈ Q)
       ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
       ∧ (a[n + 1] < b[n + 1])
       ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
       ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(P)  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(Q))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a,b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
                  \mforall{}n:\mBbbN{}
                      ((a[n]  \mmember{}  P)
                      \mwedge{}  (b[n]  \mmember{}  Q)
                      \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
                      \mwedge{}  (a[n  +  1]  <  b[n  +  1])
                      \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
                      \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index