---

Step * of Lemma closures-meet

No Annotations
∀[P,Q:ℝ ⟶ ℙ].
  ((∃a,b:ℝ. ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b)))
  ⇒ (∃c:ℝ
       (((r0 ≤ c) ∧ (c < r1))
       ∧ (∀a,b:ℝ.
            (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
            ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))))))))
  ⇒ (∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))))
BY
{ (Auto THEN ExRepD THEN RenameVar `a0' 3 THEN RenameVar `b0' 4) }

1
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[P,Q:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mexists{}a,b:\mBbbR{}.  ((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)))
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}
              (((r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1))
              \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
                        (((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
                        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                                  ((P  a')
                                  \mwedge{}  (Q  b')
                                  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')
                                  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')
                                  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)
                                  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))))))))
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(P)  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(Q))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  ExRepD  THEN  RenameVar  `a0'  3  THEN  RenameVar  `b0'  4)

---

Home Index