---

Step * 1 of Lemma closures-meet


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))
BY
{ Assert ⌜∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
           ∀n:ℕ
             ((P a[n])
             ∧ (Q b[n])
             ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
             ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
             ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
             ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
   ∀n:ℕ
     ((P a[n])
     ∧ (Q b[n])
     ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
     ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
     ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
     ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))

2
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
     ∀n:ℕ
       ((P a[n])
       ∧ (Q b[n])
       ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
       ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
       ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
       ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  P  a0
6.  Q  b0
7.  a0  \mleq{}  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((P  a')  \mwedge{}  (Q  b')  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(P)  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(Q))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a,b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
                  \mforall{}n:\mBbbN{}
                      ((P  a[n])
                      \mwedge{}  (Q  b[n])
                      \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
                      \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])
                      \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
                      \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index