---

Step * 1 1 of Lemma closures-meet

.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
   ∀n:ℕ
     ((P a[n])
     ∧ (Q b[n])
     ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
     ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
     ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
     ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
BY
{ Assert ⌜∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
            ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
             let a,b,p = abp in 
             let a',b',p' = abp' in 
             (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
⊢ ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
    ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
     let a,b,p = abp in 
     let a',b',p' = abp' in 
     (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

2
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
       let a,b,p = abp in 
       let a',b',p' = abp' in 
       (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
⊢ ∃a,b:ℕ ⟶ ℝ
   ∀n:ℕ
     ((P a[n])
     ∧ (Q b[n])
     ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
     ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
     ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
     ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  P  a0
6.  Q  b0
7.  a0  \mleq{}  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((P  a')  \mwedge{}  (Q  b')  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
      \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((P  a[n])
          \mwedge{}  (Q  b[n])
          \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
          \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])
          \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
          \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}abp:a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
                    \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
                      let  a,b,p  =  abp  in 
                      let  a',b',p'  =  abp'  in 
                      (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index