---

Step * 1 1 1 2 of Lemma common-limit-midpoints


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. ∀n:ℕ. (((a[n + 1] = a[n]) ∧ (b[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2)))) ∨ ((a[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2))) ∧ (b[n + 1] = b[n])))
4. ∀n:ℕ. ((r(2^n) * |a[n] - b[n]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
5. ∀n,d:ℕ.
     (((r(2^n) * |a[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |a[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|))
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ |a[0] - b[0]|
8. |a[0] - b[0]| ≤ r(n)
9. ∃y:ℝ. lim n→∞.a[n] = y
⊢ ∃y:ℝ. (lim n→∞.a[n] = y ∧ lim n→∞.b[n] = y)
BY
{ ((ParallelLast THEN Auto)
   THEN Thin (-2)
   THEN All (Unfold `converges-to`)
   THEN Auto
   THEN ((InstHyp [⌜2 * k⌝] (-2))⋅ THENA Auto')) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. ∀n:ℕ. (((a[n + 1] = a[n]) ∧ (b[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2)))) ∨ ((a[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2))) ∧ (b[n + 1] = b[n])))
4. ∀n:ℕ. ((r(2^n) * |a[n] - b[n]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
5. ∀n,d:ℕ.
     (((r(2^n) * |a[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |a[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|))
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ |a[0] - b[0]|
8. |a[0] - b[0]| ≤ r(n)
9. y : ℝ
10. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
11. k : ℕ+
12. ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k)))))]
⊢ ∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|b[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((a[n  +  1]  =  a[n])  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2))))
          \mvee{}  ((a[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2)))  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  b[n])))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
5.  \mforall{}n,d:\mBbbN{}.
          (((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  r(-n)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|
8.  |a[0]  -  b[0]|  \mleq{}  r(n)
9.  \mexists{}y:\mBbbR{}.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.a[n]  =  y
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.a[n]  =  y  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.b[n]  =  y)


By

---

Latex:
((ParallelLast  THEN  Auto)
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  All  (Unfold  `converges-to`)
  THEN  Auto
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}]  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto'))

---

Home Index