---

Step * of Lemma compact-dist-zero-in-complete

∀[X:Type]
  ∀d:metric(X)
    (mcomplete(X with d)
    ⇒ (∀[A:Type]. (metric-subspace(X;d;A) ⇒ (∀c:mcompact(A;d). ∀x:X.  (dist(x;A) = r0 ⇐⇒ x ∈ A)))))
BY
{ (InstLemma `m-closed-iff-complete` []
   THEN RepeatFor 5 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN (InstLemma `strong-subtype-iff-respects-equality` [⌜A⌝;⌜X⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 THEN Thin (-1) THEN (D -1 THENA Auto))
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN (InstLemma `compact-dist-zero` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜A⌝;⌜c⌝;⌜x⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
⊢ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n))) ⇐⇒ x ∈ A

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}d:metric(X)
        (mcomplete(X  with  d)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[A:Type]
                    (metric-subspace(X;d;A)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:mcompact(A;d).  \mforall{}x:X.    (dist(x;A)  =  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  \mmember{}  A)))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `m-closed-iff-complete`  []
  THEN  RepeatFor  5  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `strong-subtype-iff-respects-equality`  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  THEN  Thin  (-1)  THEN  (D  -1  THENA  Auto))
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `compact-dist-zero`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index