---

Step * 1 of Lemma comparison-test-for-divergence


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|))
6. N : ℕ
7. ∀n:{N...}. ((r0 ≤ y[n]) ∧ (y[n] ≤ x[n]))
8. k : ℕ
⊢ ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
BY
{ ((InstHyp [⌜imax(N;k)⌝] (-4)⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)
   THEN (Assert k ≤ imax(N;k) BY
               Auto)
   THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|))
6. N : ℕ
7. ∀n:{N...}. ((r0 ≤ y[n]) ∧ (y[n] ≤ x[n]))
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. imax(N;k) ≤ m
12. imax(N;k) ≤ n
13. e ≤ |Σ{y[i] | 0≤i≤m} - Σ{y[i] | 0≤i≤n}|
14. k ≤ imax(N;k)
15. k ≤ n
⊢ e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  \mleq{}  y[n])  \mwedge{}  (y[n]  \mleq{}  x[n]))
8.  k  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}imax(N;k)\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast)
  THEN  (Assert  k  \mleq{}  imax(N;k)  BY
                          Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index