---

Step * 1 2 1 1 2 1 1 of Lemma convex-negative-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] < r0))
5. convex-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. f[x] < r0
14. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
15. t : ℝ
16. r0 ≤ t
17. t ≤ r1
18. x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))
19. (t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))) ∈ I
⊢ f[x] ≤ rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
BY
{ (((D 5 With ⌜left-endpoint(i-approx(I;m))⌝  THENA Auto)
    THEN (InstHyp [⌜right-endpoint(i-approx(I;m))⌝;⌜t⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
    )
   THEN Thin (-2)
   ) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] < r0))
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. i-approx(I;m) ⊆ I 
7. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
8. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. r0 < rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
10. x : ℝ
11. x ∈ i-approx(I;m)
12. f[x] < r0
13. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
14. t : ℝ
15. r0 ≤ t
16. t ≤ r1
17. x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))
18. (t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))) ∈ I
19. f[(t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))] ≤ ((t
* f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+ ((r1 - t) * f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
⊢ f[x] ≤ rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  <  r0))
5.  convex-on(I;x.f[x])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
8.  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
9.  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
10.  r0  <  rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
13.  f[x]  <  r0
14.  left-endpoint(i-approx(I;m))  <  right-endpoint(i-approx(I;m))
15.  t  :  \mBbbR{}
16.  r0  \mleq{}  t
17.  t  \mleq{}  r1
18.  x  =  ((t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m))))
19.  (t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))  \mmember{}  I
\mvdash{}  f[x]  \mleq{}  rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])


By

---

Latex:
(((D  5  With  \mkleeneopen{}left-endpoint(i-approx(I;m))\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
    THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}right-endpoint(i-approx(I;m))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
    )
  THEN  Thin  (-2)
  )

---

Home Index