---

Step * 1 2 of Lemma dense-in-interval-implies


1. I : Interval
2. [X] : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. ∀a,b:{r:ℝ| r ∈ I} .  ((a < b) ⇒ (∃x:ℝ. ((X x) ∧ (a < x) ∧ (x < b))))
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} 
6. b < a
7. b < ravg(b;a)
8. ravg(b;a) < a
9. ravg(b;a) ∈ I
10. x : ℝ
11. X x
12. ravg(b;a) < x
13. x < a
14. X x
⊢ |x - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)
BY
{ ((InstLemma `ravg-dist` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO  "ravg_comm" 0 THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. X : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. ∀a,b:{r:ℝ| r ∈ I} .  ((a < b) ⇒ (∃x:ℝ. ((X x) ∧ (a < x) ∧ (x < b))))
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} 
6. b < a
7. b < ravg(b;a)
8. ravg(b;a) < a
9. ravg(b;a) ∈ I
10. x : ℝ
11. X x
12. ravg(b;a) < x
13. x < a
14. X x
15. |ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
16. |ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
⊢ |x - a| ≤ |ravg(b;a) - a|

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  [X]  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}a,b:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  I\}  .    ((a  <  b)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((X  x)  \mwedge{}  (a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))))
4.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\} 
6.  b  <  a
7.  b  <  ravg(b;a)
8.  ravg(b;a)  <  a
9.  ravg(b;a)  \mmember{}  I
10.  x  :  \mBbbR{}
11.  X  x
12.  ravg(b;a)  <  x
13.  x  <  a
14.  X  x
\mvdash{}  |x  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)


By

---

Latex:
((InstLemma  `ravg-dist`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO    "ravg\_comm"  0  THENA  Auto))

---

Home Index