---

Step * 2 1 2 1 of Lemma dense-in-interval-implies

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. [X] : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
⊢ ∀n:ℕ. (|primrec(n;b;λi,x. (g x)) - a| ≤ ((r1/r(2^n)) * |b - a|))
BY
{ (InductionOnNat THEN (RWO "primrec-unroll" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. I : Interval
2. X : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
12. n : ℤ
⊢ |b - a| ≤ ((r1/r1) * |b - a|)

2
1. I : Interval
2. X : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
12. n : ℤ
13. 0 < n
14. |primrec(n - 1;b;λi,x. (g x)) - a| ≤ ((r1/r(2^n - 1)) * |b - a|)
⊢ |if (n =z 0) then b else g primrec(n - 1;b;λi,x. (g x)) fi  - a| ≤ ((r1/r(2^n)) * |b - a|)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  [X]  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  dense-in-interval(I;X)
4.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\} 
6.  X  b
7.  b  \mneq{}  a
8.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  .  ((X  c)  \mwedge{}  (|c  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)\000C))
9.  g  :  b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}    {}\mrightarrow{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\} 
10.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  ((X  (g  b))  \mwedge{}  (|(g  b)  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)))
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (primrec(n;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  )
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|primrec(n;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2\^{}n))  *  |b  -  a|))


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  (RWO  "primrec-unroll"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index