---

Step * 2 1 1 of Lemma dense-in-reals-iff


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (X x))
BY
{ (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜(r1/r(2)) * |b - a|⌝]⋅
   THENA (MemTypeCD THEN Auto THEN (RWO  "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto) THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 0⋅ THEN nRAdd ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto)
   ) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
7. ∃k:ℕ+. ((r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|))
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (X x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((X  y)  \mwedge{}  (|x  -  y|  <  (r1/r(n))))
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
4.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  a  <  b
6.  (|ravg(a;b)  -  a|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))  \mwedge{}  (|ravg(a;b)  -  b|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  (((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))  \mwedge{}  (X  x))


By

---

Latex:
(InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}(r1/r(2))  *  |b  -  a|\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (MemTypeCD
                THEN  Auto
                THEN  (RWO    "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto)
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index