---

Step * 2 1 1 1 of Lemma dense-in-reals-iff


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
7. ∃k:ℕ+. ((r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|))
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (X x))
BY
{ ((D -1 THEN (InstHyp [⌜ravg(a;b)⌝;⌜k⌝] 2⋅ THENA Auto)) THEN ParallelLast) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
9. y : ℝ
10. (X y) ∧ (|ravg(a;b) - y| < (r1/r(k)))
⊢ ((a < y) ∧ (y < b)) ∧ (X y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((X  y)  \mwedge{}  (|x  -  y|  <  (r1/r(n))))
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
4.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  a  <  b
6.  (|ravg(a;b)  -  a|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))  \mwedge{}  (|ravg(a;b)  -  b|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))
7.  \mexists{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((r1/r(k))  <  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  (((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))  \mwedge{}  (X  x))


By

---

Latex:
((D  -1  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}ravg(a;b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}  THENA  Auto))  THEN  ParallelLast)

---

Home Index