---

Step * 1 2 of Lemma derivative-implies-strictly-decreasing-closed


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (f'[x] ≤ r0)
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f'[x] < r0)
9. -(f[x]) strictly-increasing for x ∈ [a, b]
⊢ f[x] strictly-decreasing for x ∈ [a, b]
BY
{ (UnfoldTopAb (-1) THEN UnfoldTopAb 0 THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (f'[x] ≤ r0)
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f'[x] < r0)
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
12. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
13. x < y
14. -(f[x]) < -(f[y])
⊢ f[y] < f[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
6.  ifun(\mlambda{}x.f'[x];[a,  b])
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (f'[x]  <  r0)
9.  -(f[x])  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]
\mvdash{}  f[x]  strictly-decreasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]


By

---

Latex:
(UnfoldTopAb  (-1)  THEN  UnfoldTopAb  0  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast))

---

Home Index